"Para ganar dinero en los concursos de la TV hay que tener mucha suerte"
Cada vez que vemos a algún concursante ganar un premio jugoso pensamos: 'menuda potra'. Pero... ¿Y si, en realidad, lo que pasa es que el concursante sabe matemáticas?
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| El famoso concurso de televisión en EEUU vuelve dispuesto a repartir más millones de $. ¿Te imaginas ser tú uno de los ganadores? |
La mecánica del concurso es muy simple. Hay un montón de premios, empezando por 1 céntimo y acabando por un millón; y cada uno de ellos está escondido dentro de una caja. Obviamente, nadie sabe qué premio hay en cada caja. El/La concursante tiene una caja asignada aleatoriamente y debe ir abriendo las cajas restantes para ir revelando qué contiene cada una de ellas. Conforme se van abriendo cajas, la banca propone ofertas al/a la concursante en función de los premios que aún quedan sin abrir. Si decide coger el dinero de la banca, el programa termina ahí, mientras que si lo rechaza, deberá seguir abriendo cajas. En la recta final, cuando quedan solo 2 cajas, el/la concursante puede elegir entre cambiar su caja por la que queda por abrir o quedarse definitivamente con la suya. Finalmente, abrirá su caja y se llevará el premio que haya en ella. Te dejo a continuación un vídeo del concurso por si quieres echarle un vistazo:
Imagina que estás concursando en el programa y que has sido muy valiente porque no has aceptado ninguna oferta de la banca. Después de mucho sufrimiento, has llegado a la siguiente situación: quedan 3 cajas por abrir (la tuya y dos más) y los premios que quedan son el céntimo, el dólar y el millón. Lo que se suele denominar como 'todo o nada'.
Con mucha valentía, abres una caja y... Ufff, el dólar. Primera situación de crisis, salvada. Ahora solo quedan dos opciones: o en tu caja hay el millón y en la otra el céntimo, o al revés. El presentador del programa te pregunta: "¿quieres cambiar tu caja por la otra?" Y tú respondes...
Que no, ¿verdad? Que has llegado hasta el final con tu caja y que no la vas a cambiar a última hora, que eso trae mala suerte y que seguro que el premio gordo lo has tenido tú todo este tiempo. El presentador, para hacerte la puñeta, te vuelve a preguntar: "¿estás segur@?" Y tú, de los nervios a más no poder, le dices que sí y que por Dios abra tu caja y te diga qué has ganado. El presentador, muy lentamente, se dirige a tu caja, la abre muy poco a poco para poder ver solo él lo que hay dentro y, por fin, con cara de póquer, te dice que has ganado...
Espera espera, un momento. ¿Y ya está? ¿No hay ninguna posibilidad de ganar ese millón más que con suerte? ¿No hay ningún truquito? Sí, sí que lo hay. Se llaman matemáticas ;)
Vamos a pensarlo con perspectiva. Cuando quedan 3 cajas, ¿cuál es la probabilidad de que tengas el premio? 1/3, ¿verdad? Porque solo hay una caja que tiene el premio (la tuya), mientras que hay 3 cajas en total. Es decir, que una de cada tres veces, tu caja debería contener el premio. Ahora, como hemos dicho antes, abres una caja y aparece el dólar. El presentador te pregunta si quieres cambiar la caja. Para hacerlo bien, habría que preguntarse si la otra caja tiene más probabilidades de tener el premio que la tuya, porque de ser así habría que cambiarla sin pestañear. Así que... ¿cuál es la probabilidad de que el premio esté en la otra caja?
Intuitivamente, parece que ahora cada una de las dos cajas tiene un 50% de probabilidades de tener el premio. Total, hay dos cajas y solamente en una de ellas está el premio. Pero la realidad es que no es así. Tu caja sigue teniendo 1/3 de probabilidades de contener el premio, mientras que la otra tiene 2/3. Dicho de otra manera, si te quedas con tu caja, te llevarás el premio 1 de cada 3 veces (en porcentaje, el 33%), mientras que si la cambias, te lo llevarás 2 de cada 3 veces (un 67%). Casi nada. ¿No me crees? Te lo explico.
Vamos a suponer que tu caja es la que tiene el millón de dólares. Como decíamos antes, eso ocurrirá 1 de cada 3 veces. Eso significa que 2 de cada 3 veces tu caja no contendrá el premio, porque estará en alguna de las otras dos cajas (claro, cada una de ellas tiene también un 33% de probabilidades de contener el premio). Abres una caja donde no está el premio y decides no cambiar tu caja. ¿Cuántas veces te llevarás el premio? 1 de cada 3 veces, porque habíamos quedado que 1 de cada 3 veces el premio estaba en tu caja.
Vamos a hacerlo ahora al revés. Vamos a pensar que tu caja no es la que tiene el millón de dólares. Eso significa que está en alguna de las otras dos cajas, y como hemos dicho, eso ocurrirá 2 de cada 3 veces. Después de abrir una caja sin premio, decides cambiar tu caja. Como la que se ha abierto no contenía el premio y tu caja original tampoco lo tiene, seguro que está en la otra. Es decir, que cambiando de caja te llevas el premio segurísimo, siempre que no lo tuvieras tú desde el principio. Como habíamos quedado que 2 de cada 3 veces tú no tendrías el premio, cambiando de caja te llevarás el premio 2 de cada 3 veces.
Claro, nadie te asegura que vayas a ganar el millón. Si eso fuera así, el concurso no tendría emoción. Pero si puedes acabar con una caja en tu poder que tenga el 67% de probabilidades de contener el premio, mucho mejor que acabar con una que tenga solo el 33%, ¿no? Por mucho amor y aprecio que le tengas a tu cajita original...
¿Sigues sin creerme? No pasa nada, lo entiendo. Pero no te preocupes, traigo el arma definitiva. Vamos a comprobarlo haciendo una simulación del juego. He creado un programita en el ordenador que asigna aleatoriamente el premio a una de las 3 cajas. Luego, hace al concursante elegir aleatoriamente una caja de las 3. Así, es como si estuviéramos directamente en la recta final del concurso. Acto seguido el programa escoge, de las dos cajas restantes, la que no tiene premio y la "abre", revelando así su contenido. Finalmente, como el jugador sabe matemáticas, cambia siempre de caja ante la pregunta del presentador. Para terminar, el programa comprueba si el concursante se lleva el premio o no.
Si hacemos la simulación 5 veces, ocurre lo siguiente:
Parece que nuestro pobre concursante solo se ha llevado el premio una vez de las cinco (1/5 = 20%). Pero si volvemos a probar con otras cinco simulaciones, puede ocurrir lo siguiente:
Bueno, ¿entonces en qué quedamos? Y además, ¿no se suponía que si cambiábamos de caja nos llevábamos el premio un 67% de las veces?
Lo que ocurre aquí es lo mismo que ocurre con cualquier cosa de la que conozcamos su probabilidad. Que esta probabilidad se cumple solo cuando hacemos muchísimas simulaciones. Por ejemplo, si en vez de 5 hacemos 500, ocurre lo siguiente:
Lo cual se acerca mucho más a lo que esperábamos obtener: el concursante se lleva el premio un 68% de las veces haciendo siempre el cambio de caja. Si probamos ahora 5000 simulaciones, podemos observar cómo se obtiene el resultado esperado:
Pero, si nosotros solo vamos a tener una oportunidad, ¿de qué sirve todo esto? Obviamente, con una única vez la suerte influye mucho más que si tuviéramos 100 oportunidades. Pero aún así, yo no dejaría de hacer la elección matemáticamente correcta...
Ahora, te pregunto: ¿cambiarías tu caja?
Imagina que estás concursando en el programa y que has sido muy valiente porque no has aceptado ninguna oferta de la banca. Después de mucho sufrimiento, has llegado a la siguiente situación: quedan 3 cajas por abrir (la tuya y dos más) y los premios que quedan son el céntimo, el dólar y el millón. Lo que se suele denominar como 'todo o nada'.
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| Listado de premios que reparte el programa Fuente: Wikipedia. |
Con mucha valentía, abres una caja y... Ufff, el dólar. Primera situación de crisis, salvada. Ahora solo quedan dos opciones: o en tu caja hay el millón y en la otra el céntimo, o al revés. El presentador del programa te pregunta: "¿quieres cambiar tu caja por la otra?" Y tú respondes...
Que no, ¿verdad? Que has llegado hasta el final con tu caja y que no la vas a cambiar a última hora, que eso trae mala suerte y que seguro que el premio gordo lo has tenido tú todo este tiempo. El presentador, para hacerte la puñeta, te vuelve a preguntar: "¿estás segur@?" Y tú, de los nervios a más no poder, le dices que sí y que por Dios abra tu caja y te diga qué has ganado. El presentador, muy lentamente, se dirige a tu caja, la abre muy poco a poco para poder ver solo él lo que hay dentro y, por fin, con cara de póquer, te dice que has ganado...
Espera espera, un momento. ¿Y ya está? ¿No hay ninguna posibilidad de ganar ese millón más que con suerte? ¿No hay ningún truquito? Sí, sí que lo hay. Se llaman matemáticas ;)
Vamos a pensarlo con perspectiva. Cuando quedan 3 cajas, ¿cuál es la probabilidad de que tengas el premio? 1/3, ¿verdad? Porque solo hay una caja que tiene el premio (la tuya), mientras que hay 3 cajas en total. Es decir, que una de cada tres veces, tu caja debería contener el premio. Ahora, como hemos dicho antes, abres una caja y aparece el dólar. El presentador te pregunta si quieres cambiar la caja. Para hacerlo bien, habría que preguntarse si la otra caja tiene más probabilidades de tener el premio que la tuya, porque de ser así habría que cambiarla sin pestañear. Así que... ¿cuál es la probabilidad de que el premio esté en la otra caja?
Intuitivamente, parece que ahora cada una de las dos cajas tiene un 50% de probabilidades de tener el premio. Total, hay dos cajas y solamente en una de ellas está el premio. Pero la realidad es que no es así. Tu caja sigue teniendo 1/3 de probabilidades de contener el premio, mientras que la otra tiene 2/3. Dicho de otra manera, si te quedas con tu caja, te llevarás el premio 1 de cada 3 veces (en porcentaje, el 33%), mientras que si la cambias, te lo llevarás 2 de cada 3 veces (un 67%). Casi nada. ¿No me crees? Te lo explico.
Vamos a suponer que tu caja es la que tiene el millón de dólares. Como decíamos antes, eso ocurrirá 1 de cada 3 veces. Eso significa que 2 de cada 3 veces tu caja no contendrá el premio, porque estará en alguna de las otras dos cajas (claro, cada una de ellas tiene también un 33% de probabilidades de contener el premio). Abres una caja donde no está el premio y decides no cambiar tu caja. ¿Cuántas veces te llevarás el premio? 1 de cada 3 veces, porque habíamos quedado que 1 de cada 3 veces el premio estaba en tu caja.
Vamos a hacerlo ahora al revés. Vamos a pensar que tu caja no es la que tiene el millón de dólares. Eso significa que está en alguna de las otras dos cajas, y como hemos dicho, eso ocurrirá 2 de cada 3 veces. Después de abrir una caja sin premio, decides cambiar tu caja. Como la que se ha abierto no contenía el premio y tu caja original tampoco lo tiene, seguro que está en la otra. Es decir, que cambiando de caja te llevas el premio segurísimo, siempre que no lo tuvieras tú desde el principio. Como habíamos quedado que 2 de cada 3 veces tú no tendrías el premio, cambiando de caja te llevarás el premio 2 de cada 3 veces.
Claro, nadie te asegura que vayas a ganar el millón. Si eso fuera así, el concurso no tendría emoción. Pero si puedes acabar con una caja en tu poder que tenga el 67% de probabilidades de contener el premio, mucho mejor que acabar con una que tenga solo el 33%, ¿no? Por mucho amor y aprecio que le tengas a tu cajita original...
¿Sigues sin creerme? No pasa nada, lo entiendo. Pero no te preocupes, traigo el arma definitiva. Vamos a comprobarlo haciendo una simulación del juego. He creado un programita en el ordenador que asigna aleatoriamente el premio a una de las 3 cajas. Luego, hace al concursante elegir aleatoriamente una caja de las 3. Así, es como si estuviéramos directamente en la recta final del concurso. Acto seguido el programa escoge, de las dos cajas restantes, la que no tiene premio y la "abre", revelando así su contenido. Finalmente, como el jugador sabe matemáticas, cambia siempre de caja ante la pregunta del presentador. Para terminar, el programa comprueba si el concursante se lleva el premio o no.
Si hacemos la simulación 5 veces, ocurre lo siguiente:
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| Fuente: elaboración propia. |
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| Fuente: elaboración propia. |
Lo que ocurre aquí es lo mismo que ocurre con cualquier cosa de la que conozcamos su probabilidad. Que esta probabilidad se cumple solo cuando hacemos muchísimas simulaciones. Por ejemplo, si en vez de 5 hacemos 500, ocurre lo siguiente:
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| Fuente: elaboración propia. |
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| Fuente: elaboración propia. |
Ahora, te pregunto: ¿cambiarías tu caja?
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