Jugar a la lotería es quemar el dinero

"Este viernes hay un bote de 120 millones, el que no juegue está tonto"

Primitiva, Euromillones, Quinela, Bonoloto, Cuponazo... ¿De verdad es rentable jugar a la lotería?

Cada dos por tres, vemos anuncios de que se ha acumulado un bote enorme en una lotería y pensamos: ¿y si me tocara a mí? Seguro que tus padres, de cuando en cuando, compran algún boleto cuando hay esos premios tan suculentos. O, incluso, tú mismo. Pero, ¿de verdad es rentable?

¿Quién no ha soñado con las cosas que haría si le tocara la lotería?

Vamos a empezar por lo fácil. Imagina que un amigo/a y tú os habéis quedado sin planes y estáis más aburridos que una ostra. Os juntáis y a uno de los dos se le ocurre una idea maravillosa: jugar al 'cara o cruz'. Empezáis por lo fácil: tú apuestas 1€ a que sale cara y tu amigo/a, 1€ a que sale cruz. Es decir, apostáis cada uno 1€ para llevaros el bote total de 2€.

Si os pasáis la tarde con el jueguecito, ¿quién ganará y quién perderá dinero? Nadie, ¿verdad? Porque la mitad de las veces saldrá cara (la probabilidad de que salga cara es del 50%), y la otra mitad de las veces saldrá cruz (la probabilidad de que salga cruz es del 50%). La mitad de las veces ganarás 2€ y la otra mitad de las veces perderás el euro apostado. Y a tu amigo/a le pasará lo mismo.

Pero, ¿qué pasa si tú decides que apostarás 0,5€ a que sale cara y tu amigo/a sigue apostando 1€ a que sale cruz? ¿Alguien ganará o perderá dinero ahora? La cosa parece que cambia bastante, porque la mitad de las veces saldrá cara y tú habrás ganado 1,5€ (tu medio euro y el euro de tu amigo/a) y la otra mitad habrás perdido 0,5€. Sin embargo, tu amigo/a ganará la mitad de las veces 1,5€ pero la otra mitad perderá 1€. Parece bastante claro que tú ganarás dinero a la larga y tu amigo/a lo perderá...

Es decir, la relación entre el dinero que apostamos, la cantidad del bote y la probabilidad de ganarlo son importantes. Vamos a verlo con un poco de matemáticas.

En el primer caso, ¿cuánto dinero esperamos ganar o perder si jugamos muchas partidas? Muy fácil, solo tenemos que calcular la esperanza matemática del beneficio. Es decir, multiplicar el dinero que apuesto por las veces que lo ganaré y restarlo al dinero que pierdo multiplicado por las veces que lo perderé. ¿Y cómo llamamos a las veces que ganaré o perderé? Pues la probabilidad de ganar o perder, y se calcula de forma muy intuitiva como la división del número de opciones favorables entre el número de opciones posibles. En nuestro caso, si apostamos a cara, la probabilidad de ganar es 1/2. Fíjate: las opciones favorables son 1 porque la moneda solo tiene 1 cara; mientras que las opciones posibles son 2, porque en la moneda puede salir cara o cruz (2 opciones). Igualmente, las probabilidad de perder es 1/2; porque las opciones favorables (para perder, ojo) son 1 ya que la moneda solo tiene una cruz que nos haría perder; mientras que las opciones posibles siguen siendo 2 (que salga cara o que salga cruz). Con números, quedaría así:

¿Y en el segundo caso? Las probabilidades de ganar y perder siguen siendo las mismas: 1/2. Pero ahora ya no ganamos y perdemos el mismo dinero que antes: ahora apostamos menos dinero del que nos llevamos si ganamos. Por lo que, si echamos cuentas, la esperanza matemática del beneficio ya no sale 0€ por partida, sino que sale 0,25€/partida: 

No está mal, ¿no? Si jugamos unas 1000 partidas, esperaríamos ganar unos 250€:

Claro, pero esto es lo que esperaríamos. Porque hay que tener en cuenta que después de 1000 partidas, podríamos haber tenido muy buena suerte y haber conseguido más de 500 veces sacar una cara. O también podríamos haber tenido muy mala suerte y haber sacado menos de 500 caras. Pero si en vez de una tarde jugamos un mes entero, está claro que tú acabarías ganando y tu amigo/a, perdiendo. Es decir, a la larga, lo que esperamos que ocurra es lo que sucederá. A la larga, la esperanza matemática se cumple.

Ya, vale. Pero, ¿y lo de la lotería qué? Tranquil@, vamos a ello ;)
Fuente: Loterías y Apuestas del Estado.

Volvamos a lo que nos interesaba: a las loterías. Vamos a coger el caso del sorteo Euromillones ya que es el que acumula los botes más grandes y reparte más dinero, pero el razonamiento valdría para cualquier otro sorteo.

Si queremos usar nuestra maravillosa fórmula para calcular la esperanza matemática del beneficio, necesitamos conocer algunos datos. Vamos uno a uno.

¿Cuánto dinero tenemos que apostar como mínimo y cuánto nos podemos llevar? Si consultamos la página web de Loterías y Apuestas del Estado (https://www.loteriasyapuestas.es/es/euromillones/como-se-juega/como-jugar-a-euromillones), observamos que la apuesta mínima son 2,5€ y que lo máximo que nos podemos llevar depende del bote acumulado. Vamos a pensar a lo grande y ser optimistas, vamos a pensar que ganamos el primer premio del sorteo con el mayor bote de la historia de Euromillones: 190 millones de euros.

¿Y cuál es la probabilidad de ganar el primer premio? Bueno, aquí tenemos que acudir a la combinatoria, en concreto a las combinaciones. Te recomiendo que le pegues un vistazo al libro si no lo tienes muy fresco, te vendrá bien repasarlo ;)

Cada combinación del Euromillon se compone de 5 números elegidos entre el 1 y el 50 y 2 estrellas (dos números elegidos entre el 1 y el 12). Si nos fijamos primero en los números, el número total de combinaciones posibles es precisamente la combinación de 50 elementos tomados de 5 en 5, ya que nos da igual el orden en el que los escojamos. Si nos fijamos ahora en las estrellas, el número total de combinaciones es la combinación de 12 elementos tomados de 2 en 2.

Por tanto, el número total de boletos que podemos rellenar es la multiplicación de ambos números combinatorios. Fíjate: para cada combinación de números existen 66 posibles combinaciones de estrellas. Por tanto, para los 2.118.760 de combinaciones de números, existirán 139.838.160:

Pues vamos a aplicar la fórmula. La probabilidad de ganar, si apostamos a una única combinación, será de 1 entre el número total de combinaciones posibles. La probabilidad de perder será el resto de combinaciones posibles (todas menos una, la nuestra) entre el número total de combinaciones posibles:

Es decir: POR CADA PARTIDA QUE JUGUEMOS AL EUROMILLÓN, ESTAREMOS PERDIENDO 1,14€. La cosa ya no parece tan rentable como al principio, ¿no?

Pues esto mismo ocurre con todas y cada una de las loterías. ¿Por qué? Muy sencillo: es una forma que tiene quien la organiza (España, la Unión Europea, la fundación ONCE, etc.) de recaudar dinero. Si no, ¿para qué iban a montar estos sorteos? 

Así que ya sabes: la próxima vez que te entren ganas de jugar a la lotería o alguien te diga que quiere hacerlo, recuerda lo ruinoso que es ;) 

PD: Es cierto que habría que tener en cuenta todos los premios que reparte el Euromillón (y sus probabilidades asociadas de poder ganarlos) y no solo el primero, pero el resultado sigue siendo el mismo si sumas todas las esperanzas matemáticas de ganar cada uno de los premios: no sale rentable. Te animo a que lo compruebes tú mism@ ;)  PISTA: puedes encontrar los porcentajes de recaudación destinados a cada premio en la página 10 de este documento.

* NOTA: todas las imágnes de ecuaciones mostradas en esta entrada son de elaboración propia.