Las ecuaciones de verdad no se pueden despejar

"Para resolver una ecuación, hay que despejar la x"

Pasar al otro lado, tachar, sacar factor común... Todos esos truquitos que has aprendido para resolver ecuaciones, no sirven para nada en la vida real. Las ecuaciones de verdad son inmunes a esos conjuros.

Desde pequeños, nos han enseñado cómo resolver distintos tipos de ecuaciones. De primer grado, de segundo, del grado que sea, logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, irracionales... Cada una tiene sus particularidades y tenemos que seguir un método u otro, pero siempre podemos acabar despejando la incógnita y obteniendo su valor numérico. A esto le llamamos "obtener la solución analítica".

Pero, ¿siempre se puede despejar la incógnita? ¿Existen ecuaciones que no se pueden resolver? Sí, amig@s, muchas más de las que nos podemos imaginar.

La realidad es que, normalmente, las ecuaciones que sirven para calcular cosas (la instalación del aire acondicionado, la estructura de un puente, un motor a reacción de un Boeing 737, etc.) no permiten obtener una solución analítica. Vamos, que no se puede despejar la x. Pero entonces, ¿cómo se resuelven? Porque se resuelven, ¿no?

Sí, se resuelven. Para ello, primero debemos recordar algo que hemos visto en clase: el teorema de Bolzano. Básicamente, el señor Bolzano decía que si una función es negativa en un valor y positiva en otro, y además es continua en ese intervalo, entonces seguro que hay un valor intermedio entre esos dos para el que la función vale 0. Y eso también ocurre si la función empieza siendo positiva y se convierte en negativa. Como ves, el hombre no se calentó mucho la cabeza...

Representación gráfica del teorema de Bolzano

Supongamos que queremos resolver la siguiente ecuación:

Así a primera vista, ya pinta mal la cosa. Tenemos diferentes funciones (seno, exponencial, irracional y logarítmica) que nos impiden despejar la incógnita. Bueno, pues teniendo esta poderosa arma en nuestras manos, vamos a hacer una cosa: vamos a pasar todos los términos a un lado, de forma que quede todo igualado a cero.

Ahora, vamos a construir una función f(x) que sea precisamente todo el término no nulo de la ecuación:

¿Y para qué hacemos esto? Porque si conseguimos encontrar un valor a que haga que f(a) = 0, entonces la ecuación anterior se cumplirá porque tendremos que 0 = 0. Vamos, que hemos conseguido pasar de tener que resolver una ecuación a tener que encontrar un valor que haga que la función valga 0. No parece un cambio muy grande, me dirás. Bueno, yo creo que sí ;)

Vamos a dibujar nuestra función en el intervalo [-1,1]:

Fuente: elaboración propia.

¡Bingo! Parece que hemos tenido suerte :) Fíjate que la función corta el eje de abscisas (el de las x) entre el 0,1 y el 0,2. Luego la solución de la ecuación debe estar en ese intervalo.

Si hacemos zoom en ese intervalo:

Fuente: elaboración propia.

Ahora podemos ver que la solución está entre 0,14 y 0,15. Volviendo a hacer zoom en ese intervalo:

Fuente: elaboración propia.

Y así podríamos seguir hasta conseguir la precisión que queramos. Para nuestro caso, con un decimal nos conformamos, y como ahora la solución está entre 0,1425 y 0,145 podemos decir que la solución de la ecuación inicial es x = 0,14 aproximadamente.

Ya bueno, me diréis, pero para resolver esa ecuación hemos tenido que utilizar el ordenador para ir dibujando la función... ¿Antes de que existieran ordenadores no se podían resolver? Sí, se podía. Vamos a ver cómo.

Recuperemos el primer dibujo: sabíamos que la solución estaba en el intervalo [-1,1] porque f (-1) era negativo y f (1) era positivo. Aplicando el teorema de Bolzano, podemos estar seguros que en algún punto de ese intervalo existe un valor a tal que f(a) = 0. Hagamos una cosa: dividir el intervalo en dos sub-intervalos igual de grandes. El primero será [-1,0] y el segundo, [0,1]. Ahora, veamos cuánto vale la función en ese punto intermedio: f (0) tiende a -∞. Ya es mala pata que no dé un número normal, pero en realidad no importa: sigue siendo un número negativo. Y como f (1) era positivo, entonces seguro que la solución está en el sub-intervalo de la derecha: en el [0,1]. Claro, esto ya lo habíamos visto gráficamente, pero recuerda que ahora estamos haciéndolo sin ayuda del ordenador.

Ahora podemos repetir el proceso otra vez. Dividimos nuestro nuevo intervalo, el [0,1], en dos: el [0 , 0,5] y el [0,5 , 1]. Comprobamos cuánto vale la función en el punto intermedio: f (0,5) = 1.34. Como es positivo, nos quedamos con el sub-intervalo de la izquierda (el [0 , 0,5]), ya que es el único de los dos donde la función cambia de signo.

Y así sucesivamente podemos ir dividiendo el intervalo en 2 sub-intervalos hasta tener aproximada la solución lo bien que queramos. Si continuamos haciendo este proceso, llegaríamos a un punto en el que tendríamos la solución dentro del intervalo [0,148438 , 0,149414], pudiendo afirmar así que la solución es x = 0,14 aproximadamente como habíamos quedado anteriormente. Te dejo a continuación el resumen del proceso por si lo quieres intentar y comprobar (en rojo se indica el intervalo que no se cogerá para la siguiente iteración y en verde, el que sí):

Fuente: elaboración propia.

Evidentemente, este método es un peñazo si lo tenemos que hacer a mano o si tenemos que ir dibujando la gráfica y haciendo zoom (aunque sea con ordenador). Sin embargo, con la ayuda de estas maravillosas maquinitas llamadas PC podemos calcular los sub-intervalos que queramos en menos de un minuto, obteniendo así la precisión deseada en la solución.

Así que, ya sabes: cuando quieras construir algo o estudiar un fenómeno de la naturaleza, prepara el ordenador porque le va a tocar trabajar. La buena noticia es que tú puedes tomarte un descanso mientras tanto ;)