"Las matemáticas no tienen relación con la realidad, son un mundo aparte"
Ecuaciones, trigonometría, derivadas, integrales... Salvo los números, que sirven para contar, ¿cómo se conectan el resto de matemáticas con lo cotidiano?
Cuanto más estudiamos las matemáticas, menos relación le vemos con nuestro día a día. A unos les pueden gustar más, a otros menos; pero todos estarán de acuerdo en que no es una ciencia "aplicada". La física intenta explicar los fenómenos de la naturaleza; la biología, los seres vivos; la química, la composición de los materiales... Pero, ¿y las matemáticas? ¿Qué intentan explicar?
Desgraciadamente, los profesores fallamos a la hora de explicaros la enorme presencia de las matemáticas en nuestro día a día. Pero eso no significa que no haya matemáticas escondidas en casi cada cosa que nos ocurre. Te voy a mostrar un ejemplo, que además es bastante rompedor, para que me creas.
Imagina que tienes ganas de perder el tiempo. Estás más aburrido que una ostra y no se te ocurre otra idea mejor que coger el paquete de alfileres que guardan tus padres para arreglar algún botón roto o algún descosido y lanzarlos al aire. Como si fuera confeti, pero a lo peligroso. ¿Qué matemática hay en ese suceso? Ninguna, pensarás. ¿Y qué relación tiene con el número π? Que ninguna, pesado. ¿Sí? ¿Seguro?
Vamos a suponer que, para ahorrarte la faena de recogerlas todas luego (no te apetece tener bronca porque tu padre/madre se clave una aguja en el pie yendo descalz@ por casa), las tiras a la mesa del salón. El mantel que lleva puesto esa mesa es un mantel con rallas horizontales, equiespaciadas una distancia d. A ti nunca te ha gustado, todo sea dicho, porque te recuerda a las plantillas que hacías de pequeñ@ para escribir recto a mano en un folio en blanco.
 |
| La mítica plantilla, fuente de sabiduría y profesionalidad. Fuente: elaboración propia. |
Llamemos ahora l a la longitud de cada alfiler, y supongamos que l < d (vamos, que si ponemos una aguja entre dos líneas, cabe de sobra sin tocarlas). Cuando lances el bote de agujas al aire sobre el mantel, ¿cuántas de ellas intersectarán con alguna línea de este? ¿Hay algún patrón oculto?
Vamos a dejar un momento de lado el experimento, con todas las agujas ya esparcidas, y hagamos un pequeñísimo repaso de las distribuciones de probabilidad que hemos ido viendo durante el bachillerato. ¿Te acuerdas de la más famosa? La campana de Gauss, también llamada distribución normal, ¿verdad?
 |
| Siempre odiada y querida a partes iguales. |
¿Recuerdas por qué era tan importante? Porque representaba muchos fenómenos de la naturaleza, por ejemplo cómo se distribuye la altura en la población. De este modo, si queríamos saber qué probabilidad había de que una persona adulta escogida al azar midiera 1,80m o menos, simplemente debíamos integrar esa función de distribución desde -∞ hasta 1,80m.
Espera espera, si nosotros no hemos integrado una función así en la vida, Hulio. Claro, nosotros nos íbamos a lo cómodo: a las tablas. ¿Pero las tablas qué son, al fin y al cabo? No son más que los valores de las integrales evaluadas desde -∞ hasta un cierto valor. Por eso, en nuestro caso, deberíamos buscar el valor correspondiente a 1,80m.
Espera espera, si nosotros no hemos integrado una función así en la vida, Hulio. Claro, nosotros nos íbamos a lo cómodo: a las tablas. ¿Pero las tablas qué son, al fin y al cabo? No son más que los valores de las integrales evaluadas desde -∞ hasta un cierto valor. Por eso, en nuestro caso, deberíamos buscar el valor correspondiente a 1,80m.
Peeero, como cada fenómeno tiene unos valores distintos (no es lo mismo hablar de altura que de peso), tendríamos que crear infinitas tablas: una para cada caso en concreto. Así que lo que hacíamos primero era normalizar nuestro fenómeno (vamos, hacer que tuviera una media de 0 y una varianza de 1) y así poder utilizar la tabla universal: la que se calculaba a partir de una distribución normal de media 0 y varianza 1.
En cualquier caso, ahora lo importante es recordar que, en buena ley, para calcular la probabilidad de que la variable X sea menor o igual a un determinado valor a, hay que integrar la función de distribución f(x) desde -∞ hasta dicho valor:
Volvamos ahora a nuestro experimento: nos preguntábamos cuántas agujas intersectarían con alguna línea del mantel. Eso, dicho con palabras matemáticas, es lo mismo que decir "cuál es la probabilidad de que una aguja intersecte con alguna línea". Además, cuantas más agujas tiremos, más debería cumplirse esa probabilidad en nuestro experimento.
Bueno, pues ya está. Siguiendo con el mismo razonamiento que antes, para calcular la probabilidad de que una aguja intersecte con una línea del mantel, deberemos transformar ese suceso en un valor numérico a e integrar la función de distribución de probabilidad desde -∞ hasta a. Fácil y sencillo.
No sé, Rick, no lo veo claro. ¿Cuál es ese valor a? ¿Y cuál es la función de distribución f(x) que tenemos que integrar? Tranquilidad, vamos a ir poco a poco.
Lo primero de todo será construir la función de distribución de probabilidad f(x). Pero hay una cosa muy importante a tener en cuenta: cuántas variables tiene el problema. Dicho de otra manera, cuántas variables independientes necesito para situar la aguja sobre el mantel. A priori parece que necesitaremos las coordenadas (x,y) del punto inicial y del punto final de la aguja, si consideramos un sistema de referencia cartesiano (por ejemplo, en la esquina inferior izquierda de la mesa). Con estas cuatro coordenadas (dos a dos), tendríamos situada la aguja en el mantel (suponiendo un sistema de referencia asociado al mismo). Pero hay una forma más sencilla: ¿y si situamos únicamente la posición del punto medio de la aguja (el que esté a una longitud l/2 del punto inicial o final) y consideramos además el ángulo con respecto a una línea horizontal como las del mantel?
Parece que así mejora la cosa y que con 3 variables podemos definir la posición de la aguja. No obstante, a efectos prácticos, podemos considerar solo las variables (y , α) porque la variable x no va a influir en la intersección aguja-mantel (da igual su posición horizontal, únicamente importa su posición vertical y su orientación). Luego la función de distribución tendrá dos variables independientes: f(y , α).
Perfecto, ahora que ya sabemos qué variables independientes necesitamos para construir la función de distribución, vamos a construirla. Para ello, nos hacemos la siguiente pregunta: ¿cómo se distribuyen las probabilidades de ambas variables? O, dicho de otra manera, ¿qué probabilidad tiene una aguja de caer en una posición y orientación determinada? En principio, parece que la aguja puede caer en cualquier posición y orientación con la misma probabilidad que tiene de hacerlo en otra. Esto, matemáticamente hablando, significa que las distribuciones de probabilidad de ambas variables son uniformes. Es decir, que para cada variable no tenemos una campana de Gauss (recuerda que en ella, el valor con mayor probabilidad de suceder era la media), sino una línea recta horizontal (cada valor tiene la misma probabilidad de suceder). Y como las dos variables son independientes, la función de distribución global f(y , α) se obtiene como la multiplicación de las funciones de distribución de cada una de ellas:
Luego la probabilidad se calculará como:
Pero seguimos sin tener definida la función de distribución f(y , α) ... Vamos a hacer una cosa, simplifiquemos el problema. Supongamos que solo tenemos dos líneas del mantel y que tiramos todas las agujas entre ellas, de manera que la coordenada y del punto medio de cada aguja puede ir desde la línea inferior a la superior. En principio, la probabilidad de que las agujas intersecten alguna de las dos líneas debe ser la misma que si duplicamos el problema y lanzamos las agujas entre tres líneas, puesto que habrá dos huecos formados por dos líneas. Es decir, existe simetría entre ambos casos y por tanto la probabilidad debe mantenerse. Del mismo modo, podemos tener tantos huecos y tantas líneas como queramos: mientras se respete la simetría con respecto a nuestra simplificación, la probabilidad será la misma.
Si esto es así, podemos seguir adelante. Por comodidad, situamos el origen de la coordenada y en la línea inferior. Para el ángulo α hacemos como siempre: lo medimos en sentido anti horario desde la horizontal (así nos aseguramos que, si utilizamos funciones trigonométricas, funcionarán como toca). Por tanto, los rangos en los que se moverán ambas variables son:
Pero, ¿cuánto puede valer la probabilidad como máximo? Recordarás que 1 (o, lo que es lo mismo, 100%). Esto es importante, porque no podemos obtener P > 1 (no tendría sentido tener una probabilidad superior al 100%). Volviendo al ejemplo de la altura de los individuos de una población, si la altura mínima es 1,50m y la máxima es 2,00m, entonces la probabilidad de que un individuo escogido al azar tenga una altura entre ambos valores es del 100%. En nuestro caso, la probabilidad de que las variables tomen cualquier valor entre el máximo y el mínimo debe ser 1, ya que esa condición cubre todos los casos posibles. Teniendo esto en cuenta, y recordando que las funciones de distribución eran planas, la probabilidad de calculará como:
Fíjate que los límites de integración ya no empiezan en -∞ sino en el valor mínimo que puede tomar cada variable (0 en ambos casos). Además, se divide por los máximos valores de ambas variables para que la probabilidad de que tomen estos valores o cualquier valor inferior (o lo que es lo mismo, que tomen cualquier valor posible), sea 1:
Muy bien, ya tenemos casi toda la faena hecha. Recuerda que queríamos calcular la probabilidad de que una aguja intersectara una línea. Para ello, necesitábamos conocer la función de distribución de probabilidad y qué valores de las variables independientes implicaban dicha intersección. Lo primero ya lo tenemos, vamos a por lo segundo.
En el dibujo se han puesto los casos límite a partir de los cuales empieza a haber intersección. En el caso de la izquierda, la intersección ocurrirá siempre que la coordenada y sea menor que l/2 · sen(α); y en el caso de la derecha, siempre que la coordenada y sea mayor que d - l/2 · sen(α); sea cual sea el valor de α. Es decir, que ambas variables sí están relacionadas si tratamos de averiguar cuándo existe la intersección. Por tanto, la probabilidad de que NO haya intersección será:
Os dejo que hagáis las dos integrales vosotros mism@s. Es muy fácil: primero hay que integrar en y (haciendo la integral entre paréntesis) y luego, lo que os dé, integrarlo respecto de α.
Ya, bueno, ¿pero no queríamos obtener la probabilidad de intersección? Claro, pero era más fácil calcular la de no intersección. Y si recordáis las propiedades básicas de la probabilidad, la probabilidad de intersección será:
Lo cual nos lleva, sin darnos cuenta, a un resultado increíble: la probabilidad de intersección depende de la longitud de la aguja, de la distancia entre dos líneas consecutivas y del valor de π. ¿Pero qué me estás contando? ¿Cómo puede ser esto posible? A ver, tiene sentido si piensas que al calcular la probabilidad hemos utilizado ángulos y funciones trigonométricas... Pero aun así: ¿qué pinta ahí la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro? ¿Qué pinta ahí un número irracional? ¿Qué pinta ahí el dichoso π?
Desgraciadamente, no te puedo dar una respuesta a estas preguntas. Pero sí puedo demostrarte que el resultado obtenido es cierto. ¿No me crees? Pégale un vistazo a la continuación de la entrada: Las agujas de coser saben más matemáticas que tú y yo juntos (II).
* NOTA: todas las imágnes de ecuaciones mostradas en esta entrada son de elaboración propia.
Lo primero de todo será construir la función de distribución de probabilidad f(x). Pero hay una cosa muy importante a tener en cuenta: cuántas variables tiene el problema. Dicho de otra manera, cuántas variables independientes necesito para situar la aguja sobre el mantel. A priori parece que necesitaremos las coordenadas (x,y) del punto inicial y del punto final de la aguja, si consideramos un sistema de referencia cartesiano (por ejemplo, en la esquina inferior izquierda de la mesa). Con estas cuatro coordenadas (dos a dos), tendríamos situada la aguja en el mantel (suponiendo un sistema de referencia asociado al mismo). Pero hay una forma más sencilla: ¿y si situamos únicamente la posición del punto medio de la aguja (el que esté a una longitud l/2 del punto inicial o final) y consideramos además el ángulo con respecto a una línea horizontal como las del mantel?
 |
| Fuente: elaboración propia. |
Parece que así mejora la cosa y que con 3 variables podemos definir la posición de la aguja. No obstante, a efectos prácticos, podemos considerar solo las variables (y , α) porque la variable x no va a influir en la intersección aguja-mantel (da igual su posición horizontal, únicamente importa su posición vertical y su orientación). Luego la función de distribución tendrá dos variables independientes: f(y , α).
Perfecto, ahora que ya sabemos qué variables independientes necesitamos para construir la función de distribución, vamos a construirla. Para ello, nos hacemos la siguiente pregunta: ¿cómo se distribuyen las probabilidades de ambas variables? O, dicho de otra manera, ¿qué probabilidad tiene una aguja de caer en una posición y orientación determinada? En principio, parece que la aguja puede caer en cualquier posición y orientación con la misma probabilidad que tiene de hacerlo en otra. Esto, matemáticamente hablando, significa que las distribuciones de probabilidad de ambas variables son uniformes. Es decir, que para cada variable no tenemos una campana de Gauss (recuerda que en ella, el valor con mayor probabilidad de suceder era la media), sino una línea recta horizontal (cada valor tiene la misma probabilidad de suceder). Y como las dos variables son independientes, la función de distribución global f(y , α) se obtiene como la multiplicación de las funciones de distribución de cada una de ellas:
Luego la probabilidad se calculará como:
Si esto es así, podemos seguir adelante. Por comodidad, situamos el origen de la coordenada y en la línea inferior. Para el ángulo α hacemos como siempre: lo medimos en sentido anti horario desde la horizontal (así nos aseguramos que, si utilizamos funciones trigonométricas, funcionarán como toca). Por tanto, los rangos en los que se moverán ambas variables son:
Pero, ¿cuánto puede valer la probabilidad como máximo? Recordarás que 1 (o, lo que es lo mismo, 100%). Esto es importante, porque no podemos obtener P > 1 (no tendría sentido tener una probabilidad superior al 100%). Volviendo al ejemplo de la altura de los individuos de una población, si la altura mínima es 1,50m y la máxima es 2,00m, entonces la probabilidad de que un individuo escogido al azar tenga una altura entre ambos valores es del 100%. En nuestro caso, la probabilidad de que las variables tomen cualquier valor entre el máximo y el mínimo debe ser 1, ya que esa condición cubre todos los casos posibles. Teniendo esto en cuenta, y recordando que las funciones de distribución eran planas, la probabilidad de calculará como:
Muy bien, ya tenemos casi toda la faena hecha. Recuerda que queríamos calcular la probabilidad de que una aguja intersectara una línea. Para ello, necesitábamos conocer la función de distribución de probabilidad y qué valores de las variables independientes implicaban dicha intersección. Lo primero ya lo tenemos, vamos a por lo segundo.
 |
| Fuente: elaboración propia. |
En el dibujo se han puesto los casos límite a partir de los cuales empieza a haber intersección. En el caso de la izquierda, la intersección ocurrirá siempre que la coordenada y sea menor que l/2 · sen(α); y en el caso de la derecha, siempre que la coordenada y sea mayor que d - l/2 · sen(α); sea cual sea el valor de α. Es decir, que ambas variables sí están relacionadas si tratamos de averiguar cuándo existe la intersección. Por tanto, la probabilidad de que NO haya intersección será:
Ya, bueno, ¿pero no queríamos obtener la probabilidad de intersección? Claro, pero era más fácil calcular la de no intersección. Y si recordáis las propiedades básicas de la probabilidad, la probabilidad de intersección será:
Lo cual nos lleva, sin darnos cuenta, a un resultado increíble: la probabilidad de intersección depende de la longitud de la aguja, de la distancia entre dos líneas consecutivas y del valor de π. ¿Pero qué me estás contando? ¿Cómo puede ser esto posible? A ver, tiene sentido si piensas que al calcular la probabilidad hemos utilizado ángulos y funciones trigonométricas... Pero aun así: ¿qué pinta ahí la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro? ¿Qué pinta ahí un número irracional? ¿Qué pinta ahí el dichoso π?
Desgraciadamente, no te puedo dar una respuesta a estas preguntas. Pero sí puedo demostrarte que el resultado obtenido es cierto. ¿No me crees? Pégale un vistazo a la continuación de la entrada: Las agujas de coser saben más matemáticas que tú y yo juntos (II).
* NOTA: todas las imágnes de ecuaciones mostradas en esta entrada son de elaboración propia.
Comentarios
Publicar un comentario