Las agujas de coser saben más matemáticas que tú y yo juntos (II)

En la entrada anterior, habíamos estudiado qué ocurría cuando tirábamos unas agujas al aire sobre un mantel de rallas horizontales.

Y habíamos llegado a la conclusión de que la probabilidad de que las agujas intersectaran con alguna línea del mantel era:

Que esa probabilidad tuviera que ver con la longitud l de las agujas y con la distancia d entre líneas parecía bastante razonable, intuitivo si me apuras. Pero que aparezca por ahí π... Eso ya π-nta raro. Lo mejor en estos casos es comprobarlo. Pero vamos a hacerlo dándole la vuelta a la tortilla. 

Si la expresión de arriba es cierta, podemos despejar el número π:

Además, sabemos que la definición de probabilidad es la división del número de casos favorables entre el número de casos posibles. En nuestro problema:

Por tanto, podemos substituir esta expresión en aquella donde habíamos despejado π:

 Y eso, ¿qué significa? Ojo que vienen curvas: que si yo lanzo un número de agujas suficientemente alto y hago esas operaciones, debería obtener el número π. O sea, que lanzando agujas al aire totalmente al azar, puedo obtener cuantas cifras decimales del número π quiera.

Vamos a comprobarlo, que esto cada vez parece más y más raro. He creado un programita de ordenador que lanza aleatoriamente las agujas que tú quieras sobre un mantel de 10 líneas horizontales. Luego, cuenta cuántas intersectan, una a una. Finalmente, hace las operaciones de arriba para obtener el valor aproximado de π. Vamos a darle caña, ¿no?

Esto es lo que ocurre si lanzamos 10 agujas. Como ves, se pintan en rojo las que intersectan y en azul, las que no:

Fuente: elaboración propia.

El resultado es descorazonador, ¿eh? Vamos, si π es igual a 2, yo me retiro. Pero, por supuesto, el ordenador no se equivoca: si haces las cuentas y consideras una distancia d = 1m y una longitud de aguja l = 0,5m (parámetros escogidos para la simulación); comprobarás que efectivamente el resultado es ese. ¿Entonces qué está pasando? ¿No hemos hecho bien el razonamiento en la entrada anterior?

Que no cunda el pánico. Lo que ocurre es que estamos lanzando muy pocas agujas. Las probabilidades se cumplen cuando hay un número muy muy grande de eventos. Si no, la suerte (varianza) influye muchísimo y los resultados se alejan del esperado. Así que vamos a lanzar más agujas, que de recogerlas luego ya se encarga el ordenador.

Esto es lo que ocurre si lanzamos 100 agujas:

Fuente: elaboración propia.

La cosa parece que empieza a coger un poquito de color. Ya tenemos ese 3 ahí que nos da un poco de esperanzas. Vamos a seguir aumentando el número de agujas.

Esto es lo que ocurre si lanzamos 1.000 agujas:

Fuente: elaboración propia.

Parece que nos volvemos a estancar, porque no hemos mejorado en nada la aproximación de π. No perdamos la fe todavía: lancemos más agujas.

Esto es lo que ocurre si lanzamos 10.000 agujas:

Fuente: elaboración propia.

¡Ahí tenemos nuestro primer decimal! Vamos, que la cosa parece que SÍ funciona. De hecho, si seguimos aumentando el número de agujas, conseguiremos obtener más y más decimales correctos del número π. Mi ordenador explota si intenta dibujar más agujas, pero sí me deja calcular la aproximación de π con lanzamientos más grandes. De hecho, lanzando 10 millones de agujas, el resultado es 3.14064630732229140000000000000.

Así que las conclusiones son claras:

1. No nos hemos equivocado en la resolución del problema.
2. Las agujas saben más matemáticas que tú y yo juntos, y nos lo demuestran dictándonos los decimales del número π.

Yo no sé vosotros, pero esto ha sido una cura de humildad. Nunca podré volver a ver a una aguja del mismo modo que antes...

Van Gogh 1881-12, Etten - Mujer obteniendo cifras decimales de π
(acuarela sobre lienzo de 48cm x 35cm)

PD: existen ciertos problemas si quisiéramos utilizar este método para obtener decimales de π. El primero es que no podemos hacerlo físicamente, porque llega un punto en el que es imposible comprobar si las agujas que caen muy cerca de las líneas están de verdad intersectándolas o no (debido al error de medición del metro, regla, etc. que utilicemos). Eso supone que, como máximo, podríamos sacar unos cuantos decimales correctamente. Bueno, pues hagámoslo con el ordenador. Sí, eso podría solucionar las cosas (aunque no es tan evidente) y nos ahorraría tener que contar "a mano", pero aparece un segundo problema: cada vez tendremos que lanzar más y más agujas para seguir obteniendo decimales correctos de π. Dicho de otra manera, importa mucho cuántos decimales tengamos aproximados si queremos obtener el siguiente: para obtener el primer decimal hay que pasar de lanzar 100 agujas a 10.000; pero para obtener el segundo hay que pasar de lanzar 10.000 a 10 millones. Eso implica que el número de agujas que hay que lanzar se dispara en seguida. Pero bueno, con lo rápido que evolucionan los ordenadores, la potencia de cálculo dejará de ser una limitación más pronto que tarde. Aunque claro, siempre querremos obtener más y más decimales, con lo que estaremos siempre en las mismas...

* NOTA: todas las imágnes de ecuaciones mostradas en esta entrada son de elaboración propia.